定点转动

　　刚体上各点都在以某一定点为球心的球面上运动。

　　在运动过程中有一点永远保持不动。我们可取这个固定点为上述两个坐标系的公共原点，坐标轴之间的夹角则可以任一改变。可以证明，在这种情况下，刚体从一个初位置运动到任意一个新位置时，恒可通过三个独立的角坐标来表示。设t=0时，坐标系oxyz和ox.y.z.重合，如图4.4（a）；在时刻t，坐标系oxyz运动到一个新位置，如图4.4（d）。这个运动可以看作三个独立的转动合成。首先，令oxyz平面绕oz.轴转过一个角度φ，使ox轴达到图4.4（d）中oxy平面和ox.y.平面的交线on的位置，变为ox'y'z'如图4.4（b）。交线on称为节线。其次，使oy'z'平面绕节线on转过角度θ，使坐标轴达到新位置ox“y”z“，使oz”轴和图4.4（d）中oz轴位置重合。最后，令ox“y”平面绕oz“轴转过角度φ，使坐标轴达到图4.4（d）中的最终位置。

　　上述φθ三个角坐标称为欧拉角，φ称为进动角，θ称为章动角，？称为自转角，这三个角度的变化范围为：

　　0≤φ≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2π。

　　从上面的讨论可知，作定点转动时，刚体在空间的任一位置可有三个欧拉角唯一确定，所以三个欧拉角就是刚体定点转动的广义坐标。 　　但是这种描述方法不是唯一的。例如我们也可以把刚体定点转动看成是转动轴oz方向可以任意变化的定轴转动。要确定oz轴的方向，可用球坐标的余纬角θ和经度角φ来表示，在加上绕轴oz的转角ψ，它们同样可以唯一的确定刚体在空间的位置，也是广义坐标，这三个角坐标和三个欧拉角并不完全一样，其中θ和ψ是一样的。但两者的φ并不一样。

　　一般运动

　　平面运动与一般转动的结合。

　　刚体作一般运动时，恒可以分解为平动和定点转动两部分。平动部分可用c点的三个坐标x.y.z.描述，定点转动部分可以用三个欧拉角φθψ描述。这6个坐标就是刚体作一般运动时的广义坐标。

 建设工程教育网整理